1: \(O_2D=O_2A+CD=\dfrac{AC}{2}+\dfrac{BC}{2}=\dfrac{AB}{2}=R_1\)

góc O2MD=góc O2MC+góc CMD

=1/2*sđ cung CM+góc MCA

=90 độ

=>DM là tiếp tuyến của (O2)

PD^2=BD*DA=DC*BA=DM^2=O2D-R2^2

=>PD^2=R1^2-R2^2

2: Xet ΔD1BD vuông tại D1 và ΔD4BD vuông tại D4 có

BD chung

góc D1BD=góc D4BD

=>ΔD1BD=ΔD4BD

=>D1=D4

CM tương tự, ta được: DD2=DD3, BP=BQ, PA=PB

=>D1D+D2D+D3D+D4D<=1/2(BP+PA+AQ+QB)

=>2*(D1D+D2D)<=PA+PB

PB^2=BD^2+DP^2>=2*DB*DP

=>\(PB>=\dfrac{2\cdot DB\cdot DP}{PB}=2\cdot D_1D\)

Chứng minh tương tự,ta được: \(AP>=\dfrac{2\cdot DA\cdot DP}{PA}=2\cdot D_2D\)

=>ĐPCM

* Phân tích

- Giả sử dựng được đường tròn (O’; 1cm) tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc ngoài với đường tròn (O; 2cm).

- Đường tròn (O’; 1cm) tiếp xúc với d nên O’ cách d một khoảng bằng 1cm. Khi đó O’ nằm trên hai đường thẳng d 1 ,  d 2  song song với d và cách d một khoảng bằng 1cm.

- Đường tròn (O’; 1cm) tiếp xúc với đường tròn (O; 2cm) nên suy ra OO’ = 3cm. Khi đó O’ là giao điểm của (O; 3cm) với  d 1  và  d 2

* Cách dựng

- Dựng hai đường thẳng  d 1  và  d 2 song song với d và cách d một khoảng bằng 1cm.

- Dựng đường tròn (O; 3cm) cắt  d 1  tại  O ' 1 . Vẽ ( O ' 1 ; 1cm) ta có đường tròn cần dựng

* Chứng minh

Theo cách dựng,  O ' 1  cách d một khoảng bằng 1cm nên (O’1; 1cm) tiếp xúc với d.

Vì O O ' 1  = 3cm nên ( O ' 1 ; 1cm) tiếp xúc với (O; 2cm)

* Biện luận: O các  d 1  một khoảng bằng 1cm nên (O; 3cm) cắt d1 tại hai điểm phân biệt.